開源軟件FREEFEM++，有限元（開源有限元軟件介紹）
#開源軟件# 。用有限元軟件Freefem 和工程作圖軟件 Tecplot 來完成有限元中偏微分方程求解。該有限元軟件只需要寫出有限元的變分形式，利用 自身的命令函數(shù)，即可實現(xiàn) C 語言或者 Matlab 編制的數(shù)百行代碼的功能。FreeFem 軟件是一款數(shù)值求解偏微分方程的有限元軟件。它是一款免費的軟件，完全可以直接在http://www.freefem.org這個網(wǎng)站上下載安裝包，并自帶教程。很容易通過教程編制 FreeFem 有限元程序來數(shù)值求解偏微分方程。FreeFem 不是一個工具包，而是一個完整的有限元產(chǎn)品，具有內(nèi)存需求少、計算速度快、易學好用、功能強大、應用面廣等特點。
real m = 50; / / 設置網(wǎng)格尺度
meshTh=square(m，m);//生成一致網(wǎng)格 fespaceXh(Th，P2);//定義速度的有限元空間 fespaceMh(Th，P1);//定義壓力的有限元空間 Xhu1，u2，v1，v2，ooldu1，ooldu2;//聲明試探函數(shù)和檢驗函數(shù)
Mhp，q;//聲明壓力的試探函數(shù)和檢驗函數(shù)
realepsi=1e－6，TOL=1，n1;//定義相關(guān)的參
數(shù)
ofstreamout(“theFEforStokes．txt”);//定義計算結(jié)果輸出到的 TXT 文件
solveStokes(［u1，u2，p］，［v1，v2，q］)=//定義偏微分方程，即變分形式
int2d( Th) ( dx ( u1 ) * dx ( v1 ) dy ( u1 ) * dy ( v1) dx( u2) * dx( v2) dy( u2) * dy( v2) / / a (u，v)
－p*(dx(v1) dy(v2))//b(v，p)
q*(dx(u1) dy(u2)))//b(u，q)
on(1，2，3，4，u1=0，u2=0) on(3，u1=1，u2
= 0) ; / / 定義邊界條件
plot(［u1，u2］，ps=“u1u2．eps”);
plot(p，ps=“p．eps”);//計算結(jié)果的可視化
這樣就完成了采用 FreeFem 軟件求解的全部過程。
使用該軟件進行編程、數(shù)值求解偏微分方程時，只需要寫出原偏微分方程的變分問題即可，無需進行單元局部和總體的編號、單元剛度矩陣和單元荷載向量的計算、總剛度矩陣和總荷載向量的組成、有限元線性方程組的求解等具體過程。采用“fespaceXh (Th，P2)”和“fespaceMh(Th，P1)”這段語句就完成了有限元空間的定義，并且使用“int2d( Th) ”這個命令就實現(xiàn)了數(shù)值積分的功能。寥寥數(shù)行即完成了對Stokes方程第一類邊值問題的有限元求解。對比使用 C或者 Matlab編程需幾百行的代碼，F(xiàn)reeFem 程序大大節(jié)約了編程時間。
但是， FreeFem 自帶的畫圖命令plot，所顯示的圖形并不完善。左圖對速度的作圖已經(jīng)超出了邊框; 右圖壓力的結(jié)果表示也不豐滿。一種工程上的作圖軟件來克服 FreeFem 自帶畫圖功能的缺陷。
基于 Tecplot 的可視化顯示方法。主要是根據(jù)一個數(shù)據(jù)文件來實現(xiàn)
可視化操作，最終完成數(shù)值結(jié)果的工程作圖。在 Freefem 程序的后面增加以下代碼，使有限元數(shù)值結(jié)果輸出成一個數(shù)據(jù)文件。這里需要兩個文件，一個存儲壓力，另一個存速度數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)輸出代碼如下:
ofstreamffu(“UV_new．dat”);//定義速度的存
儲文件名
ofstreamffp(“P_new．dat”);//定義壓力的存
儲文件名
ffp＜＜“Variables=”＜＜“X”＜＜“，”＜＜
“Y”＜＜“，”＜＜“P”＜＜endl;//壓力結(jié)果及對應
坐標
ffp＜＜“Zone”＜＜“”＜＜“N=”＜＜Th．nv＜
<“，”＜＜“E=”＜＜Th．nt＜＜“，”
＜＜“F=FEPOINT，ET=TRIANGLE”＜＜
endl;//輸出單元局部編碼和整體編碼的對應關(guān)系ffu＜＜“Variables=”＜＜“X”＜＜“，”＜＜“Y”＜＜“，”＜＜“u”＜＜“，”＜＜“v”＜＜endl;
//速度結(jié)果及對應坐標
ffu＜＜“Zone”＜＜“”＜＜“N=”＜＜Th．nv＜
＜“，”＜＜“E=”＜＜Th．nt＜＜“，”
＜＜“F=FEPOINT，ET=TRIANGLE”＜＜
endl;
inti，j;
for(i=0;i＜Th．nv;i )//具體輸出每個單元上的速度結(jié)果及對應坐標
{ffp＜＜Th(i)．x＜＜“”＜＜Th(i)．y＜＜“”
＜＜p(Th(i)．x，Th(i)．y)＜＜endl;
ffu＜＜Th(i)．x＜＜“”＜＜Th(i)．y＜＜“”
＜＜u1(Th(i)．x，Th(i)．y)＜＜“”＜＜u2(Th
(i)．x，Th(i)．y)＜＜endl;
}
for(i=0;i＜Th．nt;i )//具體輸出每個單元的局部編碼
{for(j=0;j＜3;j )
{ffu＜＜Th［i］［j］ 1＜＜“”;ffp＜＜Th［i］［j］ 1＜＜“”;
}
if(j==3)
{ffu＜＜endl;ffp＜＜endl;
}
}
這樣就得到了兩個數(shù)據(jù)件“UV_new．dat”和“P_new．dat”。再利用Tecplot做圖軟件，進行一系列的可視化操作，就可以得到的有限元方法數(shù)值解。
